Fórmula del teorema del valor final
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En esta entrada quiero hablar del Teorema del Valor Final y del error de estado estacionario porque estos conceptos serán útiles a medida que vayamos discutiendo el diseño del controlador con más detalle. El error de estado estacionario describe cuánto se desvía el sistema de la señal de referencia deseada a medida que el tiempo llega al infinito [1]. Es una métrica de rendimiento comúnmente utilizada para el diseño de controladores, por lo que quiero establecer el concepto ahora antes de aplicarlo en futuras entradas sobre el diseño de controladores [2]. Empezaré la discusión, sin embargo, con el Teorema del Valor Final porque ese concepto es crítico para entender el error de estado estacionario.
El Teorema del Valor Final se utiliza para encontrar el “valor final” de un sistema cuando el tiempo llega al infinito. Se deriva de la transformada de Laplace de la derivada, tomada a medida que el tiempo va al infinito (o s va a cero), como se muestra en la ecuación siguiente [2]. Nótese que sólo podemos utilizar el Teorema del Valor Final si un sistema es estable, o al menos tiene todos sus polos en el origen (y en el semiplano izquierdo). Si el sistema es inestable o una sinusoide que no decae, entonces el Teorema del Valor Final producirá resultados, pero no tendrán sentido porque el sistema no converge realmente a cero [1],[2]. No te dejes engañar: ¡comprueba siempre la estabilidad antes de utilizar el Teorema del Valor Final!
Teorema del valor final matlab
Consideremos una función física continua \(f(t)\Ncon derivada continua \N(d f / d t\), y con transformada de Laplace \N(L[f(t)]=F(s)\N.) El teorema del valor final expresa el valor final, en estado estacionario, de \(f(t)\) en términos de \(F(s)\) como:
Este teorema es útil para encontrar el valor final porque casi siempre es más fácil derivar la transformada de Laplace y evaluar el límite en el lado derecho, que derivar la ecuación para \(f(t)\Ny evaluar el límite en el lado izquierdo. Teorema del valor final La ecuación \(\ref{eqn:15.15}\) es válida siempre y cuando \(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)\f exista (es decir, sea un valor finito y constante). Pero debemos aplicar la ecuación \ref(\ref:15.15) con cuidado, porque el propio teorema no distingue entre las funciones para las que existe el límite y las funciones que no tienen límite. De hecho, el teorema puede predecir falsamente que un sistema inestable tiene un límite cuando, de hecho, no hay ninguno, es decir, que \(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t) \rightarrow \pm \infty\).
Prueba del teorema del valor final
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En el análisis matemático, el teorema del valor final (TVF) es uno de los varios teoremas similares que se utilizan para relacionar las expresiones del dominio de la frecuencia con el comportamiento del dominio del tiempo a medida que el tiempo se aproxima al infinito[1][2][3][4].
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el teorema del valor final parece predecir que el valor final de la respuesta al impulso es 0 y que el valor final de la respuesta al escalón es 1. Sin embargo, ninguno de los dos límites en el dominio del tiempo existe, por lo que las predicciones del teorema del valor final no son válidas. De hecho, tanto la respuesta al impulso como la respuesta al escalón oscilan, y (en este caso especial) el teorema del valor final describe los valores medios alrededor de los cuales oscilan las respuestas.
Calculadora del teorema del valor final
Entrada Salida Sistema H(s)d(t),u(t) Salida y(t) H(s) Si la entrada x(t)=δ (t), la salida se llama respuesta al impulso. Si la entrada x(t)=u(t), la salida se denomina respuesta escalonada. Si la entrada x(t)=Asin(wt), y H(s) es estable, el estado estable de la salida es A|H(jw)|sin(wt+H(jw)) Polos: valores de s a los que TF infinito Ceros: valores de s a los que TF = 0 Comandos de Matlab: bode, nyquist,
Estabilidad entrada-salidaEl sistema es estable BIBO si cualquier entrada acotada genera una salida acotada Criterio TF simple: Después de la cancelación del factor común Todos los polos tienen partes reales estrictamente negativas Condición suficiente: Asintóticamente estable implica BIBO estableCriterio del dominio del tiempo:
Estabilidad en el espacio de estadosLa estabilidad interna se refiere al comportamiento de las variables de estado en x(t): ¿están siempre acotadas o convergen todas a cero a medida que t ∞? La estabilidad de entrada y salida se refiere a las variables en y, en relación con u.
Marginalmente estable e inestableUn sistema es marginalmente estable si no es asintóticamente estable pero ninguna variable diverge al infinito a medida que t→∞, cuando la entrada=0. Nota: Al menos una variable no converge a 0, ya que el sistema no es A.S. Al menos una variable se vuelve constante, mantiene una oscilación eterna Al menos un valor propio en el eje jw Un sistema es inestable si no es A.S. ni M.S.
